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Factorización en números primos

por  Andrea

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  1. Índice
  2. Presentación
  3. Número primo de 13 millones de dígitos
  4. ¿Qué preguntas se desprenden del texto anterior?
  5. Reglas de Divisibilidad
  6. Ejemplos
  7. Divisores de un número
  8. Máximo común divisor
  9. Mínimo común múltiplo
  10. Referencias
  11. Sitios de interés
  12. Créditos

Presentación


Esta estrategia tiene por objetivo que aprendas el proceso de factorización en números primos, entiendas su mecánica y por supuesto su aplicación en tu vida cotidiana, no sin antes coloques estos conocimientos en tu caja de las herramientas matemáticas.

Es de vital importancia comentar que las actividades tienen como escenario curricular el programa de estudio de Matemáticas I en su contenido cuatro: Divisibilidad.

El recorrido de aprendizaje comienza con la lectura de un excelente artículo informativo-imaginativo que dispara un dardo imaginativo, pues te pide que coloque en tu imaginario, un número de trece millones de dígitos. Con esta idea en la cabeza comenzamos nuestro andar por las reglas de divisibilidad, los divisores de un número, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo respondiendo preguntas sobre lo que son los números compuestos, los algoritmos, los múltiplos y los divisores, etc.

En un segundo momento, luego de leer el artículo, nos planteamos unas preguntas y tratamos de dar respuesta a partir de un ejercicio de investigación. Una vez que afianzamos las nociones matemáticas, comenzamos a desarrollar los ejercicios propuestos los cuales están mediados con explicaciones paso a paso.

Como ejercicio final, te invitamos a seguir con mucha atención los sitios de interés, en estas referencias podrás profundizar los temas y especialmente te recomendamos sigas cultivando tu espíritu científico leyendo el articulo sobre los números primos y el mundial de futbol 2010.


1. Número primo de 13 millones de dígitos

Un grupo de matemáticos pertenecientes a la Universidad de California (UCLA por sus siglas en inglés), en Los Ángeles, acaba de ganar un premio de US$ 100.000 al haber encontrado un número primo de 13 millones de dígitos. Estos números, que sólo pueden dividirse por uno y por sí mismos, han ejercido una gran fascinación en los matemáticos, que no han podido encontrar una fórmula que los genere a todos. No es una tarea para realizar "a mano".

La Electronic Frontier Foundation1 (EFF, o Fundación Frontera Electrónica) estableció las bases de un concurso que premiaría con US$ 100.000 al grupo o persona que encontrase el numero primo más grande. Por supuesto, existe la posibilidad de que antes que finalice el plazo previsto por la EFF, alguien presente un número primo aún mayor, ya que son infinitos. La idea detrás del concurso es promover la cooperación entre los expertos en informática. Los matemáticos Californianos, conducidos por Edson Smith, hallaron el numerito de exactamente 12,978,189 dígitos (doce millones novecientos setenta y ocho mil ciento ochenta y nueve digitos) utilizando un grid compuesto por 75 ordenadores.

El número en cuestión pertenece a un subgrupo de los números primos denominados "Primos de Mersenne" (no, no es que sean hijos de sus hermanos). Estos números se caracterizan por tener la forma (2^n) -13, donde "n" es un entero. En el caso del primo hallado por la UCLA, n = 43, 112, 609.

Marin Mersenne estudió este tipo de números hace ya 300 años pero, sin un superordenador a mano, tuvo que contentarse con los ejemplares más pequeños. Así y todo, pudo determinar que si "n" pertenece al conjunto (2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257) el número resultante de aplicar su fórmula es primo. Una hazaña formidable.

No hace mucho, cuando hablábamos de los proyectos en que puedes participar aprovechando los tiempos muertos de tu ordenador, mencionamos a PrimeGrid4 , un arreglo virtual de ordenadores que tiene este mismo objetivo: encontrar el primo más grande posible hasta la fecha. Por ahora los californianos los han vencido, pero dada la naturaleza de este tipo de números, aún no está dicha la última palabra. ¿Sabes a lo que me refiero?

Es posible que al leer este tipo de noticias, pensamientos del tipo "es un descubrimiento fantástico, pero no me sirva para nada" ronden por tu mente. Pero, en realidad, aunque no sea algo muy conocido, los números primos están presentes en muchos algoritmos5 destinados a resolver problemas matemáticos o relacionados con la seguridad. Sin ir muy lejos, el famoso algoritmo RSA6 se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números primos muy grandes, con más de 100 dígitos. La seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando ordenadores convencionales. Pero si el tamaño de los primos en cuestión es más grande, digamos de 1000 o más dígitos, tampoco los superordenadores la tienen fácil para factorizarlos. Por eso, el hallazgo de este número, con nada más ni nada menos que 13 millones de dígitos, es tan importante. Y no, no vamos a ponerlo. ¡Son 13 millones de dígitos!

Los matemáticos aman estas cosas.

Si no puedes hacerte una idea de lo que significa un número de ese tamaño, imagina lo siguiente: si te pusieses a leerlo en voz alta, te tomaría unos tres meses de lectura continua.

Y, si lo quisieses escribir sobre papel, necesitarías una tira de al menos 65 kilómetros de largo (y un ejército de kinesiólogos que te reconstruyan el brazo cuando termines).

Información tomada del sitio Neoteo,http://www.neoteo.com/numero-primo-de-13-millones-de-digitos-13748 Consultado en Junio del 2011

2. ¿Qué preguntas se desprenden del texto anterior?

Luego de leer el texto anterior, proponemos te hagas las siguientes preguntas, para que posteriormente busquemos las respuesta juntos.

  • ¿Qué es un número primo y un número compuesto?
  • ¿Qué es un factor?
  • ¿Qué es factorización?
  • ¿Qué es factorizar en números primos?
  • ¿Cuáles son las reglas de divisibilidad?
  • ¿Qué son los divisores de un número?
  • ¿Qué es el máximo común divisor?
  • ¿Qué es el mínimo común múltiplo?
  • ¿Para qué me sirve saber todo esto?


Los números primos refieren a un conjunto de números enteros, cuyos únicos divisores son la unidad (número uno) y ellos mismos. Un número primo no puede ser descompuesto en factores enteros, es decir no se puede escribir como una multiplicación de números enteros. Los números primos, como si fueran ladrillos en un edificio, pueden utilizarse para construir cualquier otro número entero, a este proceso le llamamos factorización en número primos.

Para expresar un número en sus factores primos debemos buscar al mínimo primo que lo divide, repitiendo el proceso con el resultado hasta obtener un número que sea a su vez indivisible, es decir que sea en si un número primo.

Antes de hacer un ejemplo de este proceso recordemos una herramienta muy útil.

3. Reglas de Divisibilidad

Buscando los divisores primos de un número resulta conveniente recordar las siguientes reglas para probar a la divisibilidad de números enteros menores a 10. Notemos que solo nos importan los divisores primos y entonces solo se enuncian las reglas para estos:

  • Todo número par, es decir que acaba con 0, 2, 4, 6 u 8 es divisible entre 2. Por ejemplo 74, 130, 1008 y 99,992 son todos divisibles entre dos.
  • Si la suma de los dígitos de un número es un múltiplo de 3, el número es divisible entre tres. Por ejemplo 1+6+5=12 es un múltiplo de tres, entonces 165, 156, 516, 561, 615 y 651 son todos divisibles entre 3.
  • Si el último dígito de la cifra es 0 ó 5 entonces es divisible entre 5. Por ejemplo 495 y 770 son ambos divisibles entre 5.
  • Si al tomar el doble del último dígito de un número y restárselo a los dígitos sobrantes da un número divisible entre 7, entonces el numero original también es divisible entre 7 (para números grandes podemos aplicar esto varias veces). Por ejemplo: en el número 357 tomamos el último digito y lo multiplicamos por dos, 7 x 2 = 14. Los dígitos sobrantes son 35, ahora restando 35-14 tenemos 21, el cual es múltiplo de 7 y por ende 357 es divisible entre 7.
  • Finalmente todos los números primos mayores a 5 acaban con 1, 3, 7 o 9 y todos los números primos mayores a 3 son de la forma . Por ejemplo el 5 es un número primo mayor a 3 que se obtiene de sustituir n=1 en la expresión . Comprobemos esto (6 x1) – 1= 6-1= 5. Si ahora sustituimos n= 1 en , obtenemos el número primo 7. Hagamos la comprobación (6x1)+1 =6+1= 7.

A continuación empleamos lo anterior para resolver, a manera de ejemplo, un par de ejercicios, da clic en la siguiente pestaña

4. Ejemplos

Con el fin de ejemplificar este procedimiento buscamos obtener la factorización en primos de 1050, entonces primero debemos identificar que 1050 es número par y entonces si lo dividimos entre dos, que es un número primo, este dos es nuestro primer divisor entero en el desarrollo.

Tras realizar la división obtenemos:

Donde el número 2 es un factor primo

Ahora debemos aplicar el mismo procedimiento al resultado 525. Dado que este no es par no es divisible entre 2, pero empleando la regla de divisibilidad para el número 3 vemos que la suma de los dígitos 5+2+5 es 12, un múltiplo de 3. Entonces el siguiente factor primo es 3:

3 es el siguiente factor primo

Una vez más, tomamos el resultado, 175, e identificamos que el primer primo que lo divide es 5 porque la cifra termina en 5:

5 es el siguiente factor primo

Y finalmente tenemos que 5x7=35. Como ambos 5 y 7 son números primos no podemos seguir descomponiendo en factores enteros:

5 y 7 son los últimos factores primos

Y entonces el número 1050, se expresa en sus factores primos así:


En la segunda igualdad hemos usado notación exponencial para indicar que el primo divisor 5 es repetido, es decir que el número 1050 se descompone en 5 factores primos.

Expresado de dos formas diferentes

¿Quieres comprobar si esto es cierto?

Este procedimiento puede ser mejor visualizado si utilizamos la notación de la división inversa, es decir:

Si durante el proceso anterior se llega a un número (n), para el cual no se cumple ninguna de las reglas de divisibilidad, entonces tendremos que continuar probando con los siguientes primos menores a . Si ya no hay más números primos que sean divisores del número que se quiere factorizar, entonces este último es número primo y se ha concluido el proceso.

Factorización del número 13965:

  • Primero observemos que 1+3+9+6+5=24 el cuál es divisible entre 3. Entonces nuestro primer factor primo es 3. Así al factorizar, el resultado es el número 4655.

  • Ahora debemos buscar el mínimo factor primo de 4655. Vemos que 4655 no es divisible entre 2 (ya que no es par) y la suma de sus dígitos 4+6+5+5=20 no es múltiplo de 3. Nuestro siguiente número primo es 5, y 4655 termina en 5, este es nuestro siguiente divisor.

  • Ahora tomamos 4.655 5 = 931 y vemos inmediatamente último digito que no es divisible entre 2 ó 5, y lo que es más sumando sus dígitos 9+3+1=13 tenemos que tampoco es divisible entre 3. Debemos probar con nuestro siguiente número primo, el 7, aplicando la regla mencionada previamente: tomamos el ultimo digito "1" y vemos que 93 - (2 x 1) = 91 . Desafortunadamente aún no es claro si esta última cantidad es divisible entre 7, y entonces aplicamos esta regla de nuevo tomando 9 - (2 x 1) = 7 , un múltiplo de 7 y de donde concluimos que 931 es divisible entre 7:

  • Estamos en una situación similar al del paso anterior dado que 133 es non, no termina en 0 ó 5 y la suma de sus dígitos 1+3+3=7 no es divisible entre 3, pero aplicando la prueba para el 7 vemos que 13 - (2 x 1) = 7 y tenemos de nuevo que es divisible entre 7.
  • Finalmente vemos que para el número 19 no aplica ninguna de las reglas anteriores, y entonces debemos probar con los números primos menores a:
  • Es importante mencionar que el único primo menor a 4.359 es el 3 y 19 no es divisible entre tres. Es por eso que allí termina la factorización.

    Pero como ya hemos mostrado que ni 2 ni 3 (los únicos primos menores a 4.359) dividen a 19 este también debe ser un número primo y hemos finalizado la factorización en primos:

Ahora inténtalo tú:

5. Divisores de un número

Ya que hemos establecido el método es conveniente ver la importancia de realizar la factorización en primos, en particular en contrastaste con obtener los todos los divisores de un número.

Ya se mencionó que los números primos son indivisibles por lo cual podemos considerarlos como los ladrillos con los cuales construir un edificio, de manera única, a todos los otros números enteros. Es por esta razón que es tan útil encontrar la factorización en números primos, ya que si tomamos, como ejemplo, al número 200 podemos escribir a este en términos de sus divisores de varias maneras:

Pero tiene una única factorización en números primos:

Lo que es más, mostraremos a continuación que se pueden emplear los factores primos de un número para generar a todos sus divisores.

Tomemos, por ejemplo, al 1925 y encontramos su factorización en números primos:

Para este ejemplo se utilizan las siguientes reglas de divisibilidad. La primera es la de 5, pues la última cifra del número es 5. Para 385 se aplica la misma regla pues termina en 5. Después la del 7 y el residuo es 11.

Es decir:

De aquí podemos encontrar a todos los divisores de 1925 empleando productos entre los factores primos anteriores. No olvidemos que al tener la potencia "2" sobre el 5 significa que tenemos acceso a dos "cincos" mientras que de los demás factores solo tenemos uno. En la siguiente tabla se enumeran todos los divisores del número 1925 y como fueron obtenidos mediante combinaciones de productos entre los factores primos:

En esta tabla, sirve para señalar la diferencia que existe entre obtener la expresión, única e irreducible, de un número en términos de sus factores primos (columna de la izquierda) y simplemente encontrar sus divisores (columna de la derecha). Lo que es más, dado que podemos obtener todos los divisores de un número mediante sus factores primos, este procedimiento será de particular utilidad al tratar de reducir fracciones a su expresión más sencilla.

6. Máximo común divisor

Una aplicación en donde realizar la factorización en números primos simplifica el desarrollo es en la búsqueda del máximo común divisor, sea para simplificar fracciones, factorizar sumas, etc.

Ejemplo 1:

Busquemos simplificar al siguiente número racional:

Podemos expresar tanto el denominador como numerador en sus factores primos:

De donde se sigue:

Aquí vemos que el desarrollo de ambos números incluye una vez a cada uno de los factores 2 y 3, y en consecuencia su máximo común divisor es el producto de estos 2x3=6. Cancelando a este del desarrollo (la razón por la cual se cancela es por que (2x3) entre (2x3) es igual a 1); en factores primos de cada número obtenemos a la fracción simplificada e irreducible:

Ejemplo 2:

Para continuar ilustrando el proceso, simplifiquemos a la siguiente fracción:

Si expresamos al denominador 135 y al numerados 126 en su factorización en primos para compararlas y encontrar cuales son los factores presentes en ambos casos:

Comparando ambas expresiones es claro que en ambos casos se incluyen dos veces los factores 3 y 7. Entonces el máximo común múltiplo se obtiene multiplicando 32 x 7 = 3 x 3 x 7 = 63 . Como el mcd aparece tanto en el numerador como en el denominador se puede cancelar y la fracción simplificada es:

Completa la información que se te pide:

7. Mínimo común múltiplo

Otra situación en la cual podemos emplear la factorización en números primos es para obtener el mínimo común múltiplo de dos números, por ejemplo, para realizar sumas y restas con fracciones. Veamos un ejemplo de como calcular el mcm.

Ejemplo1:

Encontrar el mcm de 882 y 1176

Comparando ambas expresiones notamos que serían iguales si a la primera la multiplicamos por 22 y a la segunda por 3, en ese caso tendríamos 882x4= 3528 y 1176x3=3528. El mínimo común múltiplo de 882 y 1176 es 3528.

Ejemplo2:

Realicemos la siguiente suma de fracciones:

Podemos expresar a cada uno de los denominadores mediante sus factores primos:

Fijándonos en las expresiones anteriores para cada uno de los denominadores, vemos que si multiplicamos 2250 por 2 y 900 por 5 estos dos tendrían exactamente los mismos factores primos (22x32x53). Es decir:

2 x 2250 = 5 x 900 = 4500

Es el mínimo común múltiplo. Entonces lo podemos emplear para realizar la suma:

Resolvamos otro ejercicio similar para seguir cementando el proceso:

Ejemplo 3:

Supongamos que deseamos encontrar el resultado de la siguiente operación:

De nuevo, comenzamos escribiendo al denominador de cada fracción en sus factores primos:

Comparando ambas expresiones es claro que el único factor que comparten es un 7, de donde debemos multiplicar a 308 por 5 x 7 = 35 y a 245 por 22 x 11 = 44 para que sean idénticas, es decir:

308 x 35 = 245 x 44 = 10780

Lo cual podemos utilizar para realizar la operación:


El cual además podemos simplificar, ya que 10 = 2 x 5 y 10780 = 22 x 5 x 72 x 11 = 10 x 1078:

Ahora inténtalo tú, da clic en el siguiente botón:

Referencias


Referencias


Imágenes:

Sitios de Interés

A continuación le presentamos sitios que pueden ser de su interés para enriquecer tus conocimientos sobre el tema:

Audios y videos

Aquí se encuentra un sitio que se llama los diccionarios y las enciclopedias de los académicos donde se encuentra información muy interesante sobre los números primos y muchas relaciones con matemáticas:

Créditos

Diseño de contenido:
Michael Richard Lomnitz Lynn

Coordinación del proyecto:
Carlos Acevedo López

Diseño instruccional:
Edgar Caballero Monjaras
Karla Melina Ochoa Carreón

Diseño multimedia:
Andrea Altamirano Moreno


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comentarios  

 
0 #1 neox 02-01-2012 12:36
hola, saludos terricolas !

necesito una tabla de numeros primos del 1 al 1000 alguien me podria proporcionar informacion sobre donde encontrarla ?

muchas gracias...
saludos des de MARTE
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