Razonamiento Lógico-Matemático

Actividades

Para empezar deberás familiarizarte con la página, así que puedes "arrastrar" por ejemplo, al punto A, observa cómo cambian las coordenadas en la ventana derecha.

También puedes mover a los puntos B y C, y también observarás como cambian las coordenadas de dichos puntos. Si lo deseas tambien puedes mover a la recta a, y verás que la ecuación de dicha recta cambia conforme la mueves de posición. Lo mismo pasará si mueves a las rectas b y c.

Recuerda que a un triángulo se le llama triángulo rectángulo si uno de sus ángulos interiores es recto. Por ejemplo, si colocas al punto A en (1,4), al punto B en (3,4) y al punto C en (3,0), obtendrás un triángulo rectángulo. El ángulo recto se encuentra comprendido entre las las rectas a y b, y el vértice es B. Trata de encontrar más triángulos rectangulos al mover los puntos.

Otro tipo de triángulo, que seguramente recordarás, es el triángulo isósceles. Las coordenadas de los vértices de un triángulo isósceles son: A=(-1,0), B=(1,0) y C= (0,5). Trata de encontrar más triángulos isósceles.

¿Qué tipo de triángulo se forma si colocamos los vértices A, B y C en las coordenadas (0,0), (0,-4) y (-4,0) respectivamente?

Con respecto a los triángulos trabajaremos con algunas de sus propiedades en las siguientes actividades, por lo que es importante manejar la planilla dinámica con soltura.

Doss caso especiales de los triángulos son los triángulos degenerados: 1) cuando juntamos los tres vértices en una sola posición, es decir, cuado los tres vértices coinciden diremos que tenemos un triángulo degenerado (es un punto) y 2) cuando los tres vértices son colineales (que estan en una misma recta) también diremos que es un triángulo degenerado (es una recta).

Clasificación de Triángulos

Iniciaremos con una descripción de los elementos que aparecen en la página dinámica: En la zona gráfica se tiene un triángulo con vértices ABC, y se encuentran marcados los ángulos (se lee alfa), (se lee beta) y (se lee gama), también se encuentran marcados los lados opuestos a los vértices, así observamos que al vértice A se le opone el lado a, al vértice B se le opone el lado b, y al vértice C se le opone el lado c. En la ventana de la izquierda se encuentran los siguientes elementos:

1. Las coordenadas de los vértices.
2. Lo que mide la superficie del triángulo T
3. Las longitudes de los segmentos a, b y c.
4. Las medidas de los ángulos alfa, beta y gama.

Empieza moviendo cualquiera de los elementos y observa cómo cambian las coordenadas, los ángulos, las longitudes de los lados y la superficie del triángulo.

Antes que nada observa que en un triángulo siempre se tiene que la suma de las longitudes de dos lados siempre es mayor o igual que la medida del lado restante, puedes verificar esta propiedad con diferentes triángulos. La propiedad anterior se llama la desigualdad del triángulo y la tienen todos los triángulos; en caso de que no se cumpla, no podremos obtener un triángulo, comprueba lo anterior colocando los vértices A, B y C, en (1,1), (1,2) y (1,4), respectivamente; observarás que, al menos, hay dos lados que al sumar sus longitudes el resultado es igual a la longitud del tercer lado y que no se tiene un triángulo, no al viejo conocido, sino un triángulo degenerado. Es importante tener en mente que para que podamos tener un triángulo, las longitudes de los lados deben cumplir con la desigualdad del triángulo, esto evitará muchos dolores de cabeza.

Observemos otra propiedad, que llamaremos propiedad 2 para futuras referencias: Al ángulo de mayor medida se le opone el lado de mayor longitud y al lado de menor longitud se le opone el ángulo de menor medida, comprueba esta propiedad en algunos triángulos.

Una tercera propiedad, que llamaremos propiedad 3, es la siguiente: La suma de los ángulos interiores (alfa, beta y gama) siempre es igual a 180 grados.

Teniendo en mente las tres propiedades anteriores comenzaremos a clasificar triángulos bajo dos criterios: los lados y los ángulos.

• Un triángulo es escaleno si todos sus lados miden longitudes diferentes.
• Un triángulo es isósceles si al menos tiene dos lados iguales.
• Un triángulo es equilátero si los tres lados son iguales.

• Un triángulo es un triángulo rectángulo si tiene un ángulo que mida 90º.
• Un triángulo es un triángulo obtusángulo si tiene un ángulo mayor a 90º.
• Un triángulos es un triángulo acutángulo si todos sus ángulos son menores que 90º.

Ejemplos: No hay flecha entre equilátero y obtusángulo, por lo tanto o hay relación entre los triángulos equiláteros y los obtusángulos.

Hay una flecha entre rectángulo e isósceles, ¿cuál será la posible relación entre ambos tipos de triángulos?

También hay una flecha entre isósceles y equilátero, ¿cuál será la posible relación entre ambos tipos de triángulos?

Tratemos de encontrar información a partir de la clasificación de triángulos y de las dos propiedades más arriba. La

1. Los triángulos equiláteros tienen tres lados iguales; por la propiedad 2, todos los ángulos son iguales; y por la propiedad 3, se sigue que cada uno de los ángulos del triángulo equilátero miden 60 grados. De manera similar: si tenemos un triángulo del cual sabemos que sus tres ángulos son iguales, entonces (por la propiedad 3), concluímos que deben medir 60 grados y, por tanto, el triángulo en cuestión debera ser un triángulo equilátero.
2. Un triángulo isósceles tiene, al menos, dos lados iguales, por la propiedad 2, debe tener, al menos, dos ángulos iguales. Notemos que no sabemos cuanto miden esos dos ángulos iguales, toda la información con la que contamos es la siguiente: un triángulo isóscels tiene al menos 2 lados iguales y también tiene al menos dos ángulos iguales.
3. Los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90 grados, por tanto, no puede haber triángulos rectángulos que sean equiláteros (estaríamos contradiciendo la afirmación hecha en el punto 1).
4. Por la propiedad 3, se sigue que no hay triángulos obtusángulos con dos ángulos obtusos (si tuviera dos ángulos obtusos, la suma de ellos es mayor que 180 grados).
5. Todos los triángulos equiláteros también son triángulos isósceles, porque si tienen tres lados iguales entonces tienen al menos dos lados iguales.

Actividad

Para la siguiente actividad, tendrás que utilizar (si lo consideras necesario) la plantilla dinámica para generar diversos triángulos que cumplan las condiciones requeridas, y así contestar correctamente a las preguntas que se te presentan.

1. En un triángulo escaleno todos los ángulos son diferentes.
2. En un triángulo isósceles se tienen dos ángulos iguales
3. En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales.
4. Se puede generar un triángulo con lados de longitud 2, 6, y 3.
5. Hay triángulos rectángulos que tambien son triángulos isósceles.
6. Hay triángulos equiláteros que también son triángulos obtusángulos.
7. Todos los triángulos equiláteros son triángulos isósceles.